分数阶总结 第1篇

函数 f(x) 在 I 上可导，导函数为 f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{d}{dx} f(x) 。归纳定义高阶导数 f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}(f^{(n)}(x))=\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x) ,区间 I上 n 阶可导的函数全体记为 C^{n}(I) , I 上的函数全体记为 R^{I}

用算子表示就是 \frac{d^{n}}{dx^{n}}:C^{n}(I)\rightarrow R^{I} . \frac{d^{n}}{dx^{n}}=\frac{d}{dx}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} .根据这个定义可以得到一些普遍的性质：

(1) \frac{d^{n}}{dx^{n}} 是线性算子，即 \forall\lambda,\mu\in \mathbb{R},f(x),g(x)\in C^{n}(I) ，\frac{d^{n}}{dx^{n}}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)+\mu\frac{d^{n}}{dx^{n}} g(x)

(2)零阶导数是恒等变换 \frac{d^{0}}{dx^{0}}f(x)=f(x)\Rightarrow \frac{d^{0}}{dx^{0}}=id

(3)复合阶数可加 \frac{d^{n}}{dx^{n}}(\frac{d^{m}}{dx^{m}}f(x))=\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}f(x) 即\frac{d^{n}}{dx^{n}}\frac{d^{m}}{dx^{m}}=\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}

不过满足以上条件的线性映射并不是唯一的比如 \eta(f(x))=kf(x)+b ,其中 k,b 是常数。

高阶导数最终还是依赖于一阶导数的定义。一阶导数还满足Leibniz性:

(4)Leibniz性 \frac{d}{dx}(f(x)g(x))=(\frac{d}{dx}f(x))g(x)+f(x)\frac{d}{dx}g(x) 是否就可以唯一确定导数的定义了？

分数阶总结 第2篇

人们先定义了 x 的n次幂 x^{n}=x\times x\times..\times x 后来根据性质把 n 推广到分数乃至实数。

推广的关键是 (x^{\frac{1}{n}})^{n}=x\Rightarrow x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}

后来对于阶乘 n!=1\times2\times3\times...\times n 也推广了分数的阶乘，也就是伽马函数

\Gamma\left( x \right)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt 其中 \Gamma\left( x+1 \right)=x\Gamma(x)\Rightarrow\Gamma\left( n+1 \right)=n！

分数阶导数的定义的关键是 \frac{d^{\frac{1}{n}}}{dx^{\frac{1}{n}}}f(x)=?

先从一些简单的例子开始研究。比如 f(x)=x,f(x)=x^{\mu}

\frac{d^{}}{dx^{}}x^{\mu}=\mu x^{\mu-1}

\frac{d^{2}}{dx^{2}}x^{\mu}=\mu (\mu-1)x^{\mu-2}

.....

\frac{d^{n}}{dx^{n}}x^{\mu}=\frac{\mu\left( \mu-1 \right)....\left( \mu-n+1\right)}{1} x^{\mu-n}=\frac{\mu\left( \mu-1 \right)....\left( \mu-n+1\right)\Gamma\left( \mu-n+1 \right)}{\Gamma\left( \mu-n+1 \right)} x^{\mu-n}=\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+1-n)}x^{\mu-n}

从这个结构不难猜想一种可能是（不严格的推广） \frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}x^{\mu}=\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+1-\alpha)}x^{\mu-\alpha}，\alpha\in\mathbb{R} 显然满足上面的性质(1)(2),对于（3）

\frac{d^{\beta}}{dx^{\beta}}\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}x^{\mu}=\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+1-\alpha)}\frac{d^{\beta}}{dx^{\beta}}x^{\mu-\alpha}=\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+1-\alpha)}\frac{\Gamma({\mu-\alpha+1)}}{\Gamma(\mu-\alpha+1-\beta)}x^{\mu-\alpha}=\frac{d^{\alpha+\beta}}{dx^{\alpha+\beta}}x^{\mu} 也成立。

沿着这个猜想，，进一步我们要求它对于其他函数也是线性算子，对于可以泰勒展开为无穷级数的函数，我们也可以得到分数阶导数的定义：

\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}f(x)=\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}= \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}} \frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}(x-x_{0})^{k}= \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}} \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+1-\alpha)}(x-x_{0})^{k-\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{\Gamma(k+1-\alpha)}} (x-x_{0})^{k-\alpha} ,x\in I,\alpha\ne k

比如有

\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^{k-\alpha}}{\Gamma\left( k+1-\alpha \right)}}

\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}sinx= \sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}\frac{x^{2k+1-\alpha}}{\Gamma\left( 2k+1-\alpha \right)}}

\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}cosx=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}\frac{x^{2k-\alpha}}{\Gamma\left( 2k-\alpha \right)}}

\frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}{\frac{\Gamma (k)x^{k-\alpha}}{\Gamma\left( k+1-\alpha \right)}}

这里的推广定义的结果缺陷是 \frac{d^{\alpha}}{dx^{\alpha}}e^{x} 不一定是 e^{x} 。需要进一步寻找别的定义方法。

分数阶总结 第3篇

证明：令 \phi_1(u)=\begin{cases} u^{n-1} & \text{for} \ 0 , \phi_2(u)=\begin{cases} f(u) & \text{for} \ a \leq u \leq b ,\\ 0 & \text{else}. \end{cases}

则 \int_a^x (x-t)^{n-1}f(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(x-t)\phi_2(t)dt.\\

注意到 \phi_j \in L_1(\mathbb{R}) ， j \in \{1, 2\} ，由Lebesgue积分的经典结论即证。

分数阶积分的性质

设 \alpha>0 是任意正实数， n 是大于 \alpha 的最小正整数，即 n-1 \leq \alpha ,则R-L分数阶导数定义为：

_{a}^{RL}D_x^{\alpha}f(x)=D^n(_aD_x^{\alpha-n}f(x))=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx^n}\int_a^x\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha-n+1}}dt,\\

即先做 n-\alpha 次分数阶积分，然后再求 n 次导数。我们注意到 0 .

未完待续...

分数阶总结 第4篇

摘要：与整数阶混沌相比，分数阶混沌更符合、也更接近于现实世界。本文将研究经典Duffing系统的迭代方式、系统参数选择对混沌的影响，并通过MATLAB呈现出其混沌、相图以及庞加莱截面以达到对该系统的全面认识。

 目录

0 引言

1 分数阶Duffing系统

系统的构造

系统混沌图

2 Duffing系统相图

系统相图

系统大周期相图

系统混沌相图

3 Duffing系统庞加莱截面

4 总结

参考文献

分数阶微积分已有300的历史，自然界的物理现象大多以分数阶的形式存在，整数阶微分方程正好是分数阶微分方程的特例.整数阶模型相比，分数阶模型更接近真实的世界，具有更诱人的发展前景，近年来已得到了越来越多的关注值得注意的是，与只有固定翼混沌吸引子的分数阶混沌系统相比，具有多种多翼混沌吸引子共存的分数阶混沌系统显示出更复杂的动力学行为和更好的性能。在安全通信以及图像加密领域，此类分数阶混沌系统具有更高的序列复杂度以及更大的密钥空间，提高了系统安全性能。因此，发现和构造具有多种多翼混沌吸引子共存的低维分数阶混沌系统具有更大的价值，Zhou等人基于四翼整数阶忆阻混沌系统，构造了相应的分数阶忆阻系统，出现三翼与三翼与四翼共存吸引子共存；Xian等人构造了一个双翼与四翼混沌吸引子共存的分数阶混沌系统。目前，构造具有更多种多翼混沌吸引子共存的分数阶系统仍然是一个挑战。

而本文基于经典的Duffing系统，对其进行仿真，得到其混沌、相图以及庞加莱截面，基于此讨论其系统参数对于系统混沌状况的影响。

混沌检测是以混屯系统对参数的敏感性,对噪声的免疫性,周期摄动对混沌的抑制性为基石,从本质上区别于传统的检测方法,突破了原有的限制,达到了极 低的检测门限。因此利用混沌振子检测微弱xxx的方法是近年来兴起的一个新的研究方向，考虑到分数阶系统对微弱信号检测具有独特的优势,采用分数阶混沌系统对间歇故障进行检测,其中经典的Duffing-Homes方程为 :

对于信号检测混沌系统如果其恢复力项由

 改为：

则方程变为：

式中阻尼项系数k为 ,构成一个耗散系统。同时适当选取系统的分数阶数可以获得更低的检测门限,将式(2)转化为 : 

式中D表示一阶微分算子D^2则表示二阶微分算子。将分数阶引入方程,将式( 3 ) 中的一阶微分算子变成分数阶,得: 

由分数算子的性质,可将式(4)转换为含有分数阶的方程组。

采用A. Charef 等人研究的图形逼近方法来进行计算,经过比较采用门限值较低的分数阶系统(即q=)作为检测的混屯系统用来进行幅值检测,其表达式为: 

针对分数阶数q=、k=、w=1的Duffing系统,其初值选取x=0,x一阶导为0，当系统内置信号振幅γ从小到大发生改变时,系统状态也在周期与混沌状态之间发生着有规律的变化。

根据系统特性设计利用matlab进行迭代，其程序如下：

n=1;

a=;%分数阶选择

t=0:; %步长的选择

for j=1:length(t)

   x=(j/1000)^2;

   N=factorial(n);%n的阶乘

   dx=N/((n-a)*sqrt(pi))*x^(n-a);%x关于t求导后的表达式值

   y=[x,dx];

    yy=Duffing1(j, y)

    plot(j,yy(1),'*');

    hold on;

    plot(j,yy(2),'.k');

    hold on;

    plot(j,yy(3),'.b');

end

legend('y(t)','z(t)','dz/dt')

子函数：

function ydot = Duffing1(t, y)

ydot=zeros(size(y));

ydot(1) = y(2);%y,关于x求导

ydot(2) = 1/(*sqrt(pi))*y(2)^;%z,阶数直接设为 

ydot(3) = *cos(1*t)*y(2)+y(1)^3-y(1)^5; %dz/dt

end

 得系统中各参数迭代仿真图：

我们可以看到，图中蓝点绘制的‘dz/dt’对应图像出现明显的混沌状况。

在Duffing系统中，不同的状态有不同的相图特征，具有代表性的状态为混沌状态和大尺度周期状态：混沌状态下系统相图曲线混乱，毫无规律可循；在大尺度周期状态下相图曲线规律，相轨迹封闭。

根据1章中的系统的迭代求解，对其改造可以得该系统相图的matlab程序为：

主函数：

%系统相图

function f1

tt=2*pi/1;

[t,x]=ode45(@Duffing3,[0:tt/100:10*tt],[0,0,0]);

figure

plot(x(200:end,1),x(200:end,3))

xlabel('x');ylabel('dz/dt')

子函数：

%x与dz/dt之间

function ydot = Duffing3(t, x)

n=1;

a=;%分数阶选择

ydot=zeros(size(x));

ydot(1) = x(3);%x

ydot(2) = factorial(n)/((n-a)*sqrt(pi))*x(1)^(n-a);%y

ydot(3) = *cos(1*t)*(ydot(2))+x(1)^3-x(1)^5; %dz/dt，系统振幅取

end

 可得相图：

当系统内置信号振幅γ=时，可到到如下仿真相图：

从仿真图我们可以看到大尺度周期状态下的相图曲线规律，相轨迹封闭。

当系统内置信号振幅γ=时，可到到如下仿真相图：

从仿真图我们可以看到在混沌状态下系统相图曲线混乱。

庞加莱截面(Poincare surface of section)由Poincare于十九世纪末提出，用来对多变量自治系统的运动进行分析。

其基本思想是在多维相空间中适当选取一截面，在此截面上某一对共扼变量取固定值，称此截面为Poincar截面。

观测运动轨迹与此截面的截点( Poincare点)，设它们依次为P1,P2,P3…。原来相空间的连续轨迹在Poincare截面上便表现为一些离散点之间的映射Pn。由它们可得到关于运动特性的信息。如不考虑初始阶段的暂态过渡过程，只考虑Poincare截面的稳态图像，当Poincare截面上只有一个不动点和少数离散点时，可判定运动是周期的;当Poincare截面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的;当Poincare截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处于混沌状态。

其matlab程序为：

主函数：

%庞加莱截面

function f1

tt=2*pi/1;

[t,x]=ode45(@Duffing3,[0:tt/100:10*tt],[0,0,0]);

figure

i=200:10:500;

plot(x(i,1),x(i,3),'*')

子函数：

function ydot = Duffing3(t, x)

n=1;

a=;%分数阶选择

ydot=zeros(size(x));

ydot(1) = x(3);%x

ydot(2) = factorial(n)/((n-a)*sqrt(pi))*x(1)^(n-a);%y

ydot(3) = *cos(1*t)*(ydot(2))+x(1)^3-x(1)^5; %dz/dt

end

得到庞加莱图：

 而当系统内置信号振幅取时得庞加莱图：

本文以Duffing系统为例，从其混沌状态仿真、相图以及庞加莱截面入手，较为全面的展示了该系统的迭代特性，我们也可以看到系统内置信号振幅γ对系统的影响，当信号振幅γ的值变化时，系统图像也呈现出混沌、大周期的状态。

xxx,xxx,贾文敬.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解.四川大学学报：自然科学版,2017,54(6):1169-1172.

徐昌彪,xxx,xxx,莫运辉.多种多翼吸引子共存的新型三维分数阶混沌系统.哈尔滨工业大学学报,2020,52(5):92-98.

高丙朋,王维庆.分数阶混沌系统风机间歇故障变幅值检测方法.电测与仪表,2020,57(4):114-121.

分数阶总结 第5篇

论文的原理部分翻译到此结束了，下面是按照原论文的思想，参考了其它博主的代码实现，加了一些注释便于理解。

使用如下代码进行测试：

首先生成一个窗函数，长度为500，在150到250点处为1，其余为0。 学过信号与系统的同学都知道，窗函数的傅里叶变换是一个Sa函数（也称Sinc函数），选取傅里叶变换的阶数为0到4之间，间隔为，观察每一个结果。我将分数阶傅里叶变换的结果做成了一个动图，可以更加直观的理解分数阶傅里叶变换的物理意义和时频域的概念。

分数阶总结 第6篇

上述计算连续分数阶傅里叶变换的公式，很难用解析的方法求解，因此我们通常使用数值计算方法，比如用指数或者二次函数近似，但是这样通常情况下需要大量的样本。当 a a a接近 0 0 0和 ± 2 \pm2 ±2时，情况更加严重。

有一种快速计算方法是利用 F a = F 1 F a − 1 \mathcal{F}^a=\mathcal{F}^1\mathcal{F}^{a-1} Fa=F1Fa−1，其中 F a − 1 \mathcal{F}^a-1 Fa−1可以直接得到。 还有一种方法用到了核函数的频谱分解。 尽管这两种方法都期望能得到正确的结果，但是我们不会进一步考虑他们，因为他们的计算复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)