复变函数总结 第1篇

求瑕积分时，此定理在处理极点在实部轴上时非常好用。

若 f(z) 在 z=z_0 处为simple pole，则f(z)绕着 z=z_0 ，当半径 \varepsilon 趋近于0时，则：

\int_{P}^{}f(z)\mathrm dz=i\theta_0Res(f,z_0) .

注意：这与留数定理是统一的，不同之处在于此处要求半径 \varepsilon 趋于0。

证明：

f(z)=b_1(z-z_0)^{-1}+a_0+a_1(z-z_0)^1+... ,

令 z=z_0+\varepsilon e^{i\theta} , dz=i\varepsilon e^{i\theta}\mathrm d\theta ,

\int_{P}^{}f(z)\mathrm dz=\int_{0}^{\theta_0}f(z)i\varepsilon e^{i\theta}\mathrm d\theta

=\int_{0}^{\theta_0}\left\{ b_1\frac{1}{\varepsilon e^{i\theta}} +a_0+a_1\varepsilon e^{i\theta} + ...\right\}i\varepsilon e^{i\theta}\mathrm d\theta

=b_1i\theta_0+\int_{0}^{\theta_0}\sum_{k=0}^{\infty}{ia_k\varepsilon^{k+1}e^{i(k+1)\theta}}\mathrm d\theta

其中， \int_{0}^{\theta_0}\sum_{k=0}^{\infty}{ia_k\varepsilon^{k+1}e^{i(k+1)\theta}}\mathrm d\theta= \left. \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{a_k}{k+1}\varepsilon^{k+1}e^{i(k+1)\theta}} \right|_{\theta=0}^{\theta=\theta_0}

=0, (\varepsilon \rightarrow 0).

原式得证。

复变函数总结 第2篇

若C是一个逆时针的闭合曲线，假设 f(z) 在C内及C上是全纯的（处处可微），则对于C内任一点 z_0 ,

f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}^{}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz .

柯西积分公式暗示着：只需知道函数在边界上C的值，就足够求函数在任一点的值，这也是一种表示定理。

证明：令 z=z_0+\varepsilon e^{i \theta} , \theta \subseteq [0,2\pi] ,则：

\frac{1}{2\pi i}\int_{C}^{}\frac{f(z)}{z-z_0} \mathrm dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2 \pi}\frac{f(z_0+\varepsilon e^{i \theta})}{\varepsilon e^{i \theta}}i\varepsilon e^{i \theta} \mathrm d \theta

=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2 \pi}f(z_0+\varepsilon e^{i \theta}) \mathrm d \theta .

观察上式为一个“平均值”,目的是让此“平均值”等于 f(z_0)。设法做差，让其绝对值等于0即可：

\left| \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2 \pi}f(z_0+\varepsilon e^{i \theta}) d \theta - f(z_0) \right|

=\left| \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2 \pi}[f(z_0+\varepsilon e^{i \theta})- f(z_0) ]\mathrm d \theta \right|

\leq \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2 \pi}\left| [f(z_0+\varepsilon e^{i \theta})- f(z_0) ] \right| \mathrm d \theta \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0^{+}

原式得证。

复变函数总结 第3篇

所谓复变函数形如,复数的函数,复变函数的英文拼写为(Complex Variables)，所谓复变函数即为变量为复数的函数。实际上的实部和往往可以表示为一个含的二元函数即 ,这样我们研究复变函数就只要分别研究复变函数所对应的实部函数和虚部函数。